Fluides

Figure 1: Slump modélisé avec la méthode Smoothed Particle Hydrodynamics

On a pu observer lors sur TP 4 que la dynamique moléculaire pouvait simuler des liquides (notamment avec le potentiel de Lennard-Jones). En revanche, la simulation de problèmes usuels de mécanique des fluides (par exemple le slump test de la Figure 1) soulève deux problèmes :

Ces deux problématiques sont résolues par une méthode de modélisation discrète appelée Smoothed Particule Hydrodynamics (SPH). Cette méthode discrétise un fluide continu en une distribution de particules (discrètes). En tout point de l’espace \(\vec r\), il est possible de calculer la densité du fluide \(\rho\) en effectuant une moyenne pondérée des masses qui se trouvent dans un rayon fixe autour de \(\vec r\) (voir illustration Figure 2 qui montre la pondération \(W(d_{ij})\) qui dépend de la distance où l’on souhaite calculer \(\rho\)).

Figure 2: Illustration de la pondération pour le calcul de densité de la SPH, Jlcercos, CC BY-SA 4.0, via Wikimedia Commons

Cette approximation sert de base pour résoudre l’équation de Navier-Stokes :

\[ \rho \frac{D \vec v}{D t} = -\nabla p + \mu\nabla^2\vec v + \vec f_\mathrm{ext}, \]

\(\mu\) est la viscosité du fluide. La présence de la fonction de pondération \(W(d_{ij})\) rend la SPH très proche des méthodes que l’on a développées en TP : on a uniquement besoin de calculer des forces entre des paires de particules (Koschier et al. 2019).

Afin de tester la méthode de modélisation, on modélisera l’écoulement autour d’un obstacle, qui sous certaines conditions peut générer une allée de tourbillons de Karman.

Allée de tourbillons, Cesareo de La Rosa Siqueira, Attribution, via Wikimedia Commons

La vidéo “Coding Adventure: Simulating Fluids” de Sebastian Lague est une excellente introduction vulgarisée à la SPH. Vous trouverez un chapitre théorique qui synthétise les concepts généraux et équations de la SPH.

Les références

Koschier, Dan, Jan Bender, Barbara Solenthaler, et Matthias Teschner. 2019. « Smoothed Particle Hydrodynamics Techniques for the Physics Based Simulation of Fluids and Solids ». Eurographics 2019 - Tutorials, 41 pages. https://doi.org/10.2312/egt.20191035.