16 Fluides
On a pu observer lors sur TP 4 que la dynamique moléculaire pouvait simuler des liquides (notamment avec le potentiel de Lennard-Jones). En revanche, la simulation de problèmes usuels de mécanique des fluides (par exemple le slump test de la Figure 16.1) soulève deux problèmes :
- Pour avoir un liquide, il faut une température élevée. Cela veut dire que les particules se déplacent énormément dans le fluide. Même dans un fluide au repos, une particule va se déplacer dans tout le volume du fluide. Cela rend ardue la tâche de calculer un écoulement moyen, “macroscopique”,
- Étant donné la nature discrète des particules et des échelles du potentiel de Lennard-Jones (\(\sigma\) est de l’ordre de l’Angstrom), il faut énormément de particules pour atteindre les échelles de longueurs typiques de la mécanique des fluides (par exemple le diamètre d’une conduite). De même, les échelles de temps caractéristique du potentiel de Lennard-Jones sont de l’ordre de la femtoseconde, bien éloignée des échelles de temps typiques de phénomènes de dynamique des fluides.
Ces deux problématiques sont résolues par une méthode de modélisation discrète appelée Smoothed Particule Hydrodynamics (SPH). Cette méthode discrétise un fluide continu en une distribution de particules (discrètes). En tout point de l’espace \(\vec r\), il est possible de calculer la densité du fluide \(\rho\) en effectuant une moyenne pondérée des masses qui se trouvent dans un rayon fixe autour de \(\vec r\) (voir illustration Figure 16.2 qui montre la pondération \(W(d_{ij})\) qui dépend de la distance où l’on souhaite calculer \(\rho\)).
Cette approximation sert de base pour résoudre l’équation de Navier-Stokes :
\[ \rho \frac{D \vec v}{D t} = -\nabla p + \mu\nabla^2\vec v + \vec f_\mathrm{ext}, \]
où \(\mu\) est la viscosité du fluide. La présence de la fonction de pondération \(W(d_{ij})\) rend la SPH très proche des méthodes que l’on a développées en TP : on a uniquement besoin de calculer des forces entre des paires de particules (Koschier et al. 2019).
Afin de tester la méthode de modélisation, on modélisera l’écoulement autour d’un obstacle, qui sous certaines conditions peut générer une allée de tourbillons de Karman.
La vidéo “Coding Adventure: Simulating Fluids” de Sebastian Lague est une excellente introduction vulgarisée à la SPH. Vous trouverez un chapitre théorique qui synthétise les concepts généraux et équations de la SPH.