17 Frottement
Le frottement est un phénomène complexe qui prend sa source dans les interactions entre atomes, molécules et aspérités de deux surfaces. Prandtl est l’un des premiers à avoir idéalisé ces interactions et proposé un modèle qui contient les ingrédients de base du frottement solide: une force statique (Popov et Gray 2012) de frottement1, une force cinétique (Müser 2011) de frottement2 et une dissipation d’énergie.
Le modèle considère deux particules: l’une est libre de son mouvement, et est attachée à la seconde par un ressort de raideur \(k\). Elle subit une force extérieure dérivant d’un potentiel périodique \(F(x) = F_0\sin(2\pi x / a)\) et une force d’amortissement visqueux proportionnelle (avec un coefficient \(\eta\)) à sa vitesse. La seconde particule se déplace à vitesse constante \(v_0\). La position \(x\) de la particule libre obéit donc à l’équation suivante:
\[m \frac{\mathrm d^2x}{\mathrm dt^2} = k(v_0 t - x) - \eta\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt} - F_0\sin(2\pi x / a). \]
On se pose les questions suivantes:
- Quels sont les nombres sans dimensions qui gouvernent le modèle ?
- Quelle est la force statique de frottement ? Comment dépend-elle des paramètres du modèle ?
- Quelle est la force cinétique de frottement ? Comment dépend-elle des paramètres du modèle ?
- Comment ajouter l’effet de la température dans le modèle ? Comment change-t-elle les résultats précédents ?
- Quelle quantité d’énergie est dissipée pour un mouvement cyclique de la particule ?
- Que se passe-t-il lorsque plusieurs particules interagissent comment dans le modèle de Frenkel–Kontorova ?